你好，欢迎来到《科学人物课：冯·诺伊曼》，我是卓克。
上一讲，我们说了冯·诺伊曼的第一段数学人生。这一讲咱们继续第二段，也就是他自我评价最高的成就——算子环理论。
什么是算子环理论呢？
上一讲我们说过，冯·诺伊曼对集合论的研究在1930年告一段落，但这些研究已经为他打下了非常扎实的数学基础。
这时候，当他再看刚刚成熟的量子力学时，就发现可以把很多物理对象定义在希尔伯特空间当中。最终，他推导出了量子力学中描述粒子状态那些方法的数学基础。这个一整套的证明就是算子环理论。
算子环理论的作用是巨大的，可以说是算子环理论夯实了量子力学的地基。
什么是希尔伯特空间？
刚刚有个陌生词——希尔伯特空间。要了解算子环理论，就绕不过这个名词。
如果你去查百科词条，它是这么说的：希尔伯特空间是完备的内积空间，是欧几里得空间在无穷维上的推广。也许一些有工科基础的同学可以多少理解一点，但大多数人肯定都完全看不懂。
现在，我们就从数学角度重新理解它，请你跟着我的思路。
首先，我们得知道一点：在数学家看来，空间的种类是很多很多的，不同的空间具有不同的性质。我们生活的这个现实世界，只是众多种类的空间的一种。希尔伯特空间，也是一种。
有了这个基础知识，我们就可以通过添加约束条件构建出一些不同的空间出来，然后再看看什么是希尔伯特空间。
由于最终目的是用在物理中，所以我们很关心物理中已经存在的对象，比如“距离”。距离是什么呢？其实在不同的空间中有不同的定义。比如说，平面上两点间的距离和球面上两点间的距离的定义就不一样。而之所以定义不同，根源就在于空间的类型不一样——平面上是欧几里得空间，而球面上是椭圆空间。
如果我们不考虑这些细枝末节，只关心那些对距离来说最底层的要求。也就是说，假如连这些要求都不满足的话，距离就无从谈起了。那么，距离都有哪些底层的要求呢？我直接给你答案——
如果同时满足这3条要求，我们就定义出了最原始的距离。
但由这么原始的距离形成的，是一个太宽泛、完全没有约束的空间，就像我们铺好了一张白纸，什么信息都没有写。所以还需要再添加一些颜料，才能让纸上的画面越来越接近真实的物理世界。
最常添加的条件就是线性条件，一共8条（加法的交换律、加法的结合律、零元的存在、负元的存在、数乘的交换律、单位元的存在、数乘和加法的结合律）。这里就不挨个解释了。总之，加上之后，这个空间就和我们现在可观测的空间有点像了。
当然，我们还可以继续添加其他条件。比如有一种叫作“范数”（norm）的条件，它是一个比“距离”的适用面更加狭窄的表示距离的概念，因为它在“距离”的概念上还加了一条——必须满足“数乘”条件。举个例子，假设A的范数是范A，那么3倍的A的范数必须等于范A的3倍。
你说，这不是废话嘛？对，因为我们一直生活在满足范数的空间中，所以你不觉得意外。但是在非线性空间中，这个条件就不一定满足了，所以它们就不是范数空间。
到此，我们简单总结一下空间的类型：
如果只有距离的条件成立，那就叫度量空间；如果在度量空间上增加8个线性条件，再规定它满足范数条件，空间就会从度量空间升级为“线性赋范空间”。
线性赋范空间就是我们真实生活的空间吗？不。它还缺了一条重要的描述，就是两条线的夹角是多少。
用什么表示夹角呢？数学中用「内积」来表示。这是可以计算的。我们把满足内积条件的空间叫“内积空间”，又叫作“欧几里得空间”。这个空间里就有了长度、角度、投影等概念。而我们最熟悉的这个世界，就是三维的欧几里得空间。你看，加了这么多条件，才和我们身处的现实世界比较类似。
到这里，虽然已经给空间赋予了太多的属性，但这个空间对于研究物理的人来说，还是有点太宽泛了。物理需要简单的东西，不能有太多例外，所以还需要继续增加限制条件，让这个数学结构拥有更多方便计算的性质。
这次添加的东西叫作“完备性”。简单的说就是，如果对这个空间中的元素做某种操作后，比如乘法，得到的结果依然属于这个空间之内，那它就是完备的。
而冯·诺伊曼的老师希尔伯特在1908年的时候，从最宽泛的度量空间逐渐缩小范围，定义出了欧几里得空间。并且，在完备性上又增加了一个条件——空间的维数是无穷多的，而不是我们熟悉的3维空间。条件添加到这里，终于有了希尔伯特空间，也就是百科词条里写的——“是完备的内积空间，是欧几里得空间在无穷维上的推广”。
当然，作为一个数学家，希尔伯特只是从数学角度，对空间的研究做了进一步的拓展，并不是要用它完成什么任务、和世界发生什么关联。这也是很多理论数学家的常规做法。
但是作为希尔伯特的得意门生，冯·诺伊曼和大多数的理论数学家都不一样。他具备灵敏的嗅觉，能发现这些数学工具可以用在哪里。就是在几十年之后，冯·诺伊曼看到希尔伯特空间这个数学工具可以用在物理学中，然后一举夯实了量子力学的地基。
为量子力学奠基
这是怎么说呢？
在1930年的时候，量子力学的重要理论已经确立好几年了。其中，海森堡使用矩阵这个数学工具描述可观测量。
他使用矩阵的原因之一是，矩阵在很多运算中是不可交换的。对于一个数字来说，A×B=B×A，这个就是可交换的。而矩阵就不是这样，矩阵A×矩阵B≠矩阵B×矩阵A。这种不可交换的特性和物理现实是吻合的。
比如说，我先骑20分钟自行车、再坐3站地铁出来后的位置，和我先坐3站地铁、再骑20分钟自行车后的位置，往往不是同一个位置。这就是物理世界中的不可交换性。
而在当时，唯一拥有这种性质的代数工具就是矩阵。于是，一批物理学家开心地用起了矩阵。
但最开始，他们研究的对象只是几个粒子间的相互作用。慢慢的，需要考量的粒子数量变多了，矩阵的维数也要随之增加。以至于当物理学家要考量整个空间中所有的粒子时，矩阵的维数就是无穷的了。
物理学家敢在二维、三维或者指定的N维的矩阵上做运算，是因为那些规律早就被数学家验证过了。但无穷维矩阵的各种性质，是不是还具备之前有限维数矩阵的运算规律呢？不知道。还会不会多出一些性质呢？也不知道。这部分数学证明对物理学家们来说太难了，所以他们只能按之前的经验不严格的凑合用。
而冯·诺伊曼，注意到了这一点。
他发现，物理学家描述的粒子状态，比如能量或者动量等，正好满足希尔伯特空间中元素的性质。同时他还注意到，当时的物理学家使用的计算方法并没有严格的证明。那么，能不能用希尔伯特空间中元素的性质来推导量子力学里粒子的状态呢？于是，他开始为这些方法寻找数学证明。
这个工作，就是后来的“算子环理论”，也叫作“冯诺伊曼代数”，它一诞生马上就成了量子力学的数学基础。换句话说，之前的量子力学缺乏最基本的数学证明，地基并不扎实，现在冯·诺伊曼给出了这个证明，夯实了这个根基。
量子力学缺少底层的数学原理描述，也表现在——它在1925年建立后，一直有两种表述形式，一个是海森堡使用的矩阵，一个是薛定谔创立的波动方程。这两种方法在形式上的迥然，连小学生都能发现。
但是完全不同的两种方法，处理后的结果却非常近似。到底哪个是更好的？或者哪个是对的，哪个是错的呢？
这在当时困扰了不少物理学家。其中有一个数学水平稍稍高出同行的物理学家——狄拉克，给出了一个物理学家可以看得懂的数学解释，证明了两种形式在数学上其实是等价的。
虽说狄拉克的数学已经算物理学家中顶级的了，但其实它的证明还是有问题的。这个问题直到冯·诺伊曼做出算子环理论后，才有机会被修正。
所以，在1937年入选美国科学院院士的时候，冯·诺伊曼就在成就上填了算子环理论。
数学品味的改变
到此为止，我们讲完了冯·诺伊曼数学人生的第二阶段。两个阶段对比起来看，差别是很显著的。
在第一阶段，他醉心于那些纯数学理论，和希尔伯特领导的哥廷根数学学派的牛人们没有什么不同。数学圈外几乎没人弄得懂他们在研究什么，甚至都没听说过他们的名字。
而转折，发生在1930年。
那一年，哥德尔给一众数学家呕心沥血修补好的集合公理化体系来了个一击必杀，无可置疑的证明了数学体系是不完备的。这一击彻底改变了冯·诺伊曼对数学的品味。他不再一味深入研究理论了，而是希望在那些数学和现实世界有重叠的地方工作。
而这个追求实用的趋势，在之后不断增加。他在1940年后依然会处理很多数学问题，但那些问题都是什么呢？典型的有弹道的计算、计算机的算法设计、爆炸冲击波的理论、地球大气运动的流体力学、博弈论、经济增长的数学模型……
你看，没有一个是玄乎其玄的数学理论，都是那些搞纯理论的数学家不屑于碰触但顶级工程师又解不开的问题。正是这种调性的选择，才最大限度地发挥了一个数学功底深厚，而又愿意落入凡间、解决实际问题的天才数学家的能力。
纯数学研究的领域实在太广了，大大超出了现实世界可以见到的存在。历史上，很多重大的突破都是这样发生的——某位数学家在纯数学领域中，突然发现某一个数学结构其实和现实中的某种对象高度吻合，于是把新的数学知识运用其中，从而迎来突破。
未来的重大突破也会是这样，就看谁可以找到数学与现实世界的连接了。
卓克
下节预告
下一讲，我给你说说冯·诺伊曼在经济学上的成就。
我是卓克，咱们下一讲再见。
