你好，欢迎来到《科学人物课：冯·诺伊曼》，我是卓克。
1947年，冯·诺伊曼在一次研讨会上被人问到，以往众多的成果中自己最看重哪一个。他的回答是——希尔伯特空间的算子环理论。
也就是说，在冯·诺伊曼的自我评价中，现代计算机体系的发明、博弈论的创立等广为人知的成就，都比不上数学方面的算子环理论。
事实上，冯·诺伊曼的数学成就很多，但我们只介绍最重要的两个——一个是他在构建数学公理化过程中提出的NBG公理体系，另一个就是就是刚才说到的算子环理论。这一讲先说NBG公理体系，下一讲再说算子环理论。
听完这两讲之后你会体会到，冯·诺伊曼是一个比其他数学家更在乎数学和现实关联的研究者。
数学体系的公理化
如果只看和数学有关的内容，冯·诺伊曼的研究可以分成两个段落清晰的阶段：
一个是1922年-1930年，这段时间他关注的重点和其他数学家没有什么本质的不同，就是对一个问题产生浓厚的兴趣后，一头扎进去越扎越深，并且还小有收获。但最后，他对纯数学的美梦破碎了。这才让他进入了第二个阶段，也就是1930年-1940年。
这一讲，我们先说他美梦破碎前的第一阶段。在这一阶段，让冯·诺伊曼一头扎进去的数学问题，就是数学体系的公理化问题。
什么是数学体系的公理化问题呢？
当年，在微积分高速发展了50年之后，数学家群体内部有些人开始质疑这个理论的可靠程度。这些质疑确实很有份量，被后世称为“第二次数学危机”。
这场危机大约经历了150年的时间，按顺序出现了泰勒、麦克劳林、达朗贝尔、欧拉、拉格朗日、卡诺、阿贝尔、柯西等这些在《高数》教科书里经常见到的人名，最终在魏尔·施特拉斯（Karl Weierstrass）手中，使用ε-δ语言给微积分的严谨证明划上了句号。
而人们在使用微积分的时候，常常会碰触到一类问题，就是无穷级数求和。举个例子，1-1/2+1/3-1/4+1/5……+1/N=？结果会是无穷大吗？其实不是无穷大，而是会无限接近于ln2，大概就是0.69314。那么，1+1/2+1/3+……+1/n=？它的结果有极限值吗？其实没有，这样加下去是无穷大的。
无穷大、无穷小、无穷多等概念的应用，就让“无穷”这个新概念更加频繁地进入数学家的视野。于是，针对“无穷”这个新的、飘忽不定的概念，数学家们开始使用「集合」这个数学工具来分析。
这种方法是由康托（Cantor）开创出来的，我们可以管康托的这个集合论体系叫作“集合论公理化1.0版”。
但谁也没想到，集合这个本来用于描述无穷的工具，竟然还可以为之前所有的数学概念做出确切的定义。从新定义自然数、有理数、实数，到重新定义点、直线、圆，再到重新定义微积分，都可以定义。重新定义后，过往所有的数学定理都可以用集合论重新证明出来，而且这种证明的强度是更高、更可靠的。
这种所有数学理论大一统的前景，是非常吸引人的。
第三次数学危机
1902年，就在数学家们一同建设一栋看起来无比稳固的数学大厦的时候，英国数学家罗素给患有精神分裂症的康托去了一封信，康托看完信后病情加重了。
这封信的内容可以不严格的描述为：镇上有一个理发师，他发誓只给镇里那些不为自己刮胡子的人刮胡子。那么，这个理发师要不要给自己刮胡子呢？
这个问题被后世称为“理发师悖论”，因为不管怎么回答都是错的。如果他说不给自己刮，那么他就满足镇上那些“不给自己刮胡子的人”，所以按照他的誓言，他应该给自己刮胡子，矛盾了。如果他说给自己刮呢？他就属于“给自己刮胡子的人”，所以他就不能给自己刮胡子，又矛盾了。
如果用稍严格一些的集合的语言表述，那就是——设集合S是由一切不属于自身的集合组成的，那么问题是，S包含于集合S吗？感兴趣的话，你可以自己思考一下这个定义的矛盾。
在理发师悖论出现后，又出现了理查德悖论（Richard's paradox）、格里林悖论（Grelling paradox），它们都是直接摧毁“集合论公理化1.0版”的重磅炸弹。
你说这个问题严重吗？
当然严重了，以至于被称为“数学史上的第三次危机”。你想，集合论本来是可以用来证明数学体系内一切定理的，但现在连“什么可以算是元素”这个集合论中最基础的问题都出了问题，那千千万用集合论证明的定理又怎么可能是正确的呢？
就在第三次数学危机爆发后的第二年，冯·诺伊曼出生了。以数学史为背景看，从冯·诺伊曼出生起，数学界就在焦头烂额的想办法解决集合论中的悖论。解决方法就是提出另外一套规则，让这套规则首先规避掉那些悖论，然后还要尽量兼容康托之前提出的集合论。只有这样，才能完成数学理论的大一统。
这个宏伟的工程，我们叫它“集合论公理化2.0版”，总工程师是希尔伯特（David Hilbert）。冯·诺伊曼17岁时本应该去柏林和苏黎世好好念化学，但却天天往哥廷根跑，其实去的就是总工程师希尔伯特的家里。
第一个做出有意义改进的是策梅洛（Ernst Zermelo）。他为新的集合论提出了7条公理，我们叫它“集合论公理化2.1版”，包括外延公理、初等集合公理、分离公理等等。其中，分离公理就是专门用来规避之前那些悖论用的。
最初，数学圈的反响还不错。
但后来，数学家弗兰克尔（Abraham Fraenkel）竟然就在这个分离公理上发现了问题。还好他不止发现了问题，也给出了解决方法。
可是如果照弗兰克尔的方法做，问题虽然不存在了，但“集合论公理化2.1版”的适用范围就太狭窄了，没法肩负起证明全部数学定理的重任。
NBG公理体系的提出
就在数学界热烈商讨这个问题的时候，冯·诺伊曼也渐渐长大了。
1925年，他在希尔伯特的家里思考集合论公理化时，给2.1版增加了一条“正则公理”——每一个不空集合S，都含有一个元素T，使得T与S没有公共元素。我们没有篇幅讲为什么要增加这一条。你只要知道，冯·诺伊曼给公理化2.1版加了一个补丁，变成了2.11版就行了。
策梅洛非常认可冯·诺伊曼的修改。在1930年的时候，他综合了冯·诺伊曼、弗兰克尔和另一个数学家斯科兰姆（Thoralf Skolem）这三个人的意见，把集合论公理化改进为2.2版本，简称“ZFS公理化体系”。这三个字母是策梅洛、弗兰克尔和斯科兰姆的首字母。但请注意，这里没有冯·诺伊曼的名字，因为那两个人的贡献更大，当时也更有名望。
而冯·诺伊曼把这方面工作细化后写成论文，用它拿到了数学博士学位。答辩的那一天，希尔伯特也去了，这位数学界的泰斗在提问环节只问了一个问题：我从没见过这么漂亮的晚礼服，它是哪位裁缝做的？
你以为希尔伯特是个早就不再搞研究，专门说片汤话的老家伙吗？
不是的。他问问题的功力在数学史上都是罕见的高。他曾经在巴黎举行的第二届国际数学家大会上，提出了下一个世纪最重要的23个数学问题。这个做法在100年后21世纪到来的时候，都还有人效仿。他之所以在答辩上那么问，是因为真的不需要再问其他问题了。
几年后，冯·诺伊曼又把学位论文延伸了下去，提出了一个和ZFS公理化体系完全不同的另一套公理化体系。我们可以称之为“公理化体系2.3版”。这个版本后来又经过数学家博内斯（Paul Bernays）和哥德尔（Kurt Gödel）的简化，变成了如今的NBG公理化体系。其中的N，就代表冯·诺伊曼名字中的“诺伊曼”（Neumann）。
到了今天，虽然公理化体系还有很多数学家提出他们各自的版本，但用途最大、性质最好的依然是冯·诺伊曼那个NBG体系。
从理论数学家到应用数学家
其实本质上说，这些公理化的版本都是在做修补工作，多少会让人有些遗憾，因为实际上巨大的打击还在后面。后来，对数学体系做出致命一击的那个人，就是和冯·诺伊曼一起合作NBG体系的哥德尔。
当时，当人们满以为一个逻辑严密的由集合论搭建起来的数学大厦，通过修补工作终于要完成的时候，哥德尔完成了公理化体系不完备的证明。简单来说，哥德尔证明了——数学体系中，就算推导过程精确无误，也会存在一些确实是一步步推出来的，但却无法判定它是正确还是错误的结论。
这样一个不完备的数学世界，击碎了不少数学家的美梦，其中也包括冯·诺伊曼。
哥德尔在1930年公布这个证明的时候，冯·诺伊曼是在场唯一一个能跟上哥德尔思路的人。他回去后自己推演了一番，发现确实是这样，从此就彻底终止了集合论方面的研究。
而这个梦的破碎，让他对纯数学领域的兴趣降低了很多，从一个纯数学家变身成了一个讲求实际效果的应用数学家。
卓克
下节预告
从纯粹数学家到追求实际效果的应用数学家，这个身份的转变最终让冯·诺伊曼做出了自己评价最高的成就，也就是我们开头提到的“算子环理论”。下一讲，我们就详细说说这个理论到底是什么。
我是卓克，咱们下一讲再见。
